Metode Numerik
(http://fairuzelsaid.wordpress.com/2010/10/13/metode-numerik-01-pengantar-metode-numerik/)
Created By: Kelompok 2 Mathematic-D Smt. VII
Andi Wahyudi (59451111), Epi Cahyati (59450981), Pipit Puspitasari (59451141), Innayatul Maula (59451124)
PENGERTIAN METODE NUMERIK
Metode
Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk
memformulasi kan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi
perhitungan
Metode Numerik
TUJUAN METODE NUMERIK
Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan
dengan berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan
antara lain:
§ Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas
pada masalah sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier
tidak dapat diselesaikan.
§ Metode Grafik, metode ini digunakan Sebagai
pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidak
akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu.
§ Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik
secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan
data.
Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai
kelemahan-kelemahan metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pula bawa pada
umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan
matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan model analitik sehingga
diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan metode numerik, manusia
terbebas dari hitung menghitung manual yang membosankan . Sehinggga waktu dapat
lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti penekanan pada
formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak terjebak dalam rutinitas
hitung menghitung
Manfaat Mempelajari
Metode Numerik
§ Mampu menangani sistem persamaan besar, Ketaklinieran dan
geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin
dipecahkan secara analitis.
§ Mengetahui secara singkat dan jelas teori
matematika yang mendasari paket program.
§ Mampu merancang program sendiri sesuai permasalahan
yang dihadapi pada masalah rekayasa.
§ Metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan
dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa yang tidak
dapat ditangani secara analitis.
§ Menangani galat (error) suatu nilai hampiran (aproksimasi)
dari masalah rekayasa yang merupakan bagian
dari paket program yang bersekala besar.
§ Menyediakan sarana memperkuat pengertian
matematika mahasisw. Karena salah satu kegunaannya
adalah menyederhanakan matematika yang lebih
tinggi menjadi operasi-operasi matematika yang
mendasar
Metode Numerik - Penyelesaian masalah
matematis
Dalam menangani masalah rekayasa(masalah
riil) perlu melakukan :
§ Membawa permasalahan rekayasa kedalam
teori matematika (model matematika)
§ Model matematika yang diperoleh diselesaikan dengan cara
matematika yaitu digunakan komputasi, statistika dan matematika
yang disebut dengan alat pemecah masalah.
§ Hasil dari pemecah masalah masih berupa
nilai numeris atau grafik
§ Hasil numeris yang diperoleh diimplementasikan kembali ke permasalah
semula (masalah rekayasa) sehingga dapat dipublikasikan
sesuai dengan permasalahan yang dimaksud.
Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik yang dilakukan dakam
pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu:
1. Pendefinisian masalah (apa yang diketahui dan apa
yang diminta).
2. Pemodelan, Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam
persamaan matematika
3. Penyederhanaan model, Model matematika yang
dihasilkan dari tahap sebelumnya mungkin saja terlalu kompleks, yaitu
memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model
matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat
sehingga beberapa parameter dapat diabaikan. Model matematika yang
diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan
lebih mudah diperoleh.
4. Formulasi numerik, Setelah model matematika yang sederhana
diperoleh, tahap selanjutnya
adalah memformulasikannya secara numerik
adalah memformulasikannya secara numerik
5. Pemrograman, Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan
algoritma ke dalam program komputer
dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.
dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.
6. Operasional, Pada tahap ini, program komputer dijalankan
dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya.
7. Evaluasi, Bila program sudah selesai dijalankan
dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi.
Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip
dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan
untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih
baik.
Algoritma
Algoritma adalah merupakan sederetan(sequence) langkah logika
yang diperlukan untuk melakukan suatu tugas
tertentu seperti pemecahan masalah. Algoritma
yang baik mempunyai sejumlah kriteria
berikut :Setiap langkah harus determinestik.
§ Proses harus berakir setelah
sejumlah berhingga langkah.
§ Hasil akhir tidak boleh tergantung kepada siapa yang menjalani
algoritma tersebut.
§ Suatu algoritma tidak boleh berakhir terbuka.
§ Algoritma harus cukup umum untuk
menangani keperluan apapun.
BAGAN ALIR ( FLOWCHART)
Bagan alir merupakan pernyataan visual atau grafis suatu
algoritma. Bagan alir menggunakan deretan blok dan
anak panah, yang masing-masing menyatakan operasi
atau langkah tertentu dalam algoritma. Anak panah menyatakan urutan bagaimana
seharusnya operasi dijalankan.
Manfaat bagan alir
1. Dipakai untuk menyatakan dan
mengkomunikasikan algoritma.
2. Dapat membantu dalam perencanaan, menyelesaikan keruwetan.
3. Mengkomunikasikan logika program.
4. Merupakan wahana yang menarik untuk memvisualisasikan
beberapa struktur yang mendasar yang diterapkan
dalam pemrograman Komputer.
RUMUS FUNGSI KUADRAT
ABC
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial
berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah dengan
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien
kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien
linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut
juga suku bebas.
Arti nilai a, b, dan
c
Variasi nilai a
|
Variasi nilai b
|
Variasi nilai c
|
Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola
dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
·
a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi
kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke
atas, sedangkan nilai a <
0 akan menyebabkan parabola
terbuka ke bawah.
·
b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri
cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
·
c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan cdapat
dilihat pada gambar di di atas.
Rumus kuadrat akar
rumus abc
y = 0.75 (x +
3.333) (x – 6-000)
Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama ‘rumus abc karena digunakan untuk menghitung
akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b danc suatu persamaan kuadrat. Rumus yang
dimaksud memiliki bentuk
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila
dinyatakan bahwa
.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga
persamaan semula dalam bentuk
dapat dituliskan
menjadi
.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang
telah umum dikenal, yaitu
dan
.
menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat
tiga kasus yang mungkin:
·
Jika
dikriminan bersifat positif, akan
terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk
persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional — sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.
·
Jika
diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud
merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:
·
Jika
diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya,
terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:
dan
|
Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika
diskriminan bernilaitidak negatif.
Flowchart
Pengertian/Definisi Flowchart
Bagan alir (flowchart) adalah
bagan (chart) yang menunjukkan alir (flow) di dalam program atau prosedur sistem secara
logika. Bagan alir digunakan terutama untuk alat bantu komunikasi dan untuk
dokumentasi.
Jenis-jenis Flowchart
Ada beberapa jenis flowchart
diantaranya:
1. Bagan alir sistem (systems flowchart).
2. Bagan alir dokumen (document flowchart).
3. Bagan alir skematik (schematic flowchart).
4. Bagan alir program (program flowchart).
5. Bagan alir proses (process flowchart).
SYSTEM
FLOWCHART
System
flowchart dapat didefinisikan sebagai bagan yang menunjukkan arus pekerjaan
secara keseluruhan dari sistem. Bagan ini menjelaskan urut-urutan dari
prosedur-prosedur yang ada di dalam sistem. Bagan alir sistem menunjukkan apa
yang dikerjakan di sistem.
DOCUMENT
FLOWCHART
Bagan alir dokumen (document flowchart) atau disebut juga bagan alir
formulir (form flowchart)
atau paperwork flowchart merupakan bagan alir yang menunjukkan arus dari
laporan dan formulir termasuk tembusan-tembusannya.
SCHEMATIC
FLOWCHART
Bagan alir skematik (schematic flowchart) merupakan bagan alir yang mirip
dengan bagan alir sistem, yaitu untuk menggambarkan prosedur di dalam sistem.
Perbedaannya adalah, bagan alir skematik selain menggunakan simbol-simbol bagan
alir sistem, juga menggunakan gambar-gambar komputer dan peralatan lainnya yang
digunakan. Maksud penggunaan gambar-gambar ini adalah untuk memudahkan
komunikasi kepada orang yang kurang paham dengan simbol-simbol bagan alir.
Penggunaan gambar-gambar ini memudahkan untuk dipahami, tetapi
sulit dan lama menggambarnya.
PROGRAM
FLOWCHART
Bagan alir program (program flowchart) merupakan bagan yang
menjelaskan secara rinci langkah-langkah dari proses program. Bagan alir
program dibuat dari derivikasi bagan alir sistem.
Bagan alir program dapat terdiri dari
dua macam, yaitu bagan alir logika program (program logic flowchart)
dan bagan alir program komputer terinci (detailed computer program
flowchart). Bagan alir logika program digunakan untuk
menggambarkan tiap-tiap langkah di dalam program komputer secara logika. Bagan
alat- logika program ini dipersiapkan oleh analis sistem. Gambar berikut
menunjukkan bagan alir logika program. Bagan alir program komputer terinci
(detailed computer program flow-chart) digunakan untuk
menggambarkan instruksi-instruksi program komputer secara terinci. Bagan alir
ini dipersiapkan oleh pemrogram.
PROCESS
FLOWCHART
Bagan alir proses (process flowchart) merupakan bagan alir yang
banyak digunakan di teknik industri. Bagan alir ini juga berguna bagi analis
sistem untuk menggambarkan proses dalam suatu prosedur.
Simbol/Notasi Flowchart
Dipakai
sebagai alat Bantu menggambarkan proses di dalam program. Dibagi menjadi tiga
kelompok :
FLOW DIRECTION SYMBOLS
dipakai untuk menggabungkan antara symbol yang satu dengan
symbol lainnya
Symbol Off-line Connector ( Simbol untuk keluar/masuk prosedure atau proses dalam lembar/halaman yang lain)
Symbol Off-line Connector ( Simbol untuk keluar/masuk prosedure atau proses dalam lembar/halaman yang lain)
Symbol Connector (Simbol untuk keluar/masuk prosedur
atau proses dalam lembar/halaman yang sama). Processing symbols
Menunjukkan jenis operasi pengolahan dalam suatu prosedur
Menunjukkan jenis operasi pengolahan dalam suatu prosedur
Symbol Predefined Process (Simbol untuk mempersiapkan
penyimpanan yang akan digunakan sebagai tempat pengolahan di dalam storage)
Input-output symbols
Menyatakan
jenis peralatan yang digunakan sebagai media input atau output.
Symbol input-output (Symbol yang menyatakan proses input
dan output tanpa tergantung dengan jenis peralatannya)
Symbol magnetic-tape unit (Symbol yang menyatakan input berasal
pita magnetic atau output disimpan ke pita magnetic)
-
Symbol disk and on-line storage (Symbol untuk menyatakan input berasal
dari disk atau output disimpan ke disk)
Symbol display (Symbol yang menyatakan peralatan
output yang digunakan yaitu layar, plotter, printer, dan sebagainya)
Symbol dokumen (symbol yang menyatakan input berasal
dari dokumen dalam bentuk kertas atau output dicetak ke kertas)
Pedoman Membuat Flowchart
Bila
seorang analis dan programmer akan membuat flowchart, ada beberapa petunjuk
yang harus diperhatikan, seperti:
1. Flowchart digambarkan dari halaman
atas ke bawah dan dari kiri kekanan.
2. Aktivitas yang digambarkan harus
didefinisikan secara hati-hati dan definisi ini harus dapat dimengerti oleh
pembacanya.
3. Kapan aktivitas dimulai dan berakhir
harus ditentukan secara jelas.
4. Setiap langkah dari aktivitas harus
diuraikan dengan menggunakan deskripsi kata kerja
5. Setiap langkah dari aktivitas harus
berada pada urutan yang benar.
6. Lingkup dan range dari aktifitas yang
sedang digambarkan harusditelusuri dengan hati-hati. Percabangan-percabangan
yang memotong aktivitas yang sedang digambarkan tidak perlu digambarkan pada
flowchart yang sama. Simbol konektor harus digunakan dan percabangannya
diletakan pada halaman yang terpisah atau hilangkan seluruhnya bila
percabangannya tidak berkaitan dengan sistem.
7. Gunakan simbol-simbol flowchart yang
standar.
Contoh-contoh Flowchart
CONTOH
FLOWCHART PROGRAM
Contoh
Soal
Contoh Soal Metode Grafik
- Tentukan akar persamaan linear f(x)=2x - 4
Jawab
Y = 2x – 4
Syarat pencarian akar yaitu saat y = 0
Y = 0
X = 2
Sehingga didapatkan akarnya yaitu x = 2
- Tentukan
akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 2 = 0
Jawab
Langkah-langkah penggambaran
garfiknya :
1.
Mencari
titik potong
2.
Gambarkan
grafik
3.
Tentukan
yang berpotongan dengan sumbu x
Jadi x1 = 1 dan x2=
2
Cara lain menggunakan rumus
ABC :
Rumus
Dari x2 – 3x + 2 = 0 diketahui
.a =1
.b =-3
.c =2
X1= (-b + (b*b – 4*a*c)^0.5)/2*a
Teruskan
Jadi x1 = 1 dan x2=
2
Algoritma Pencarian akar
pada fungsi x2 – 3x + 2 = 0 dengan rumus ABC
Langkah-langkahnya
1.
Inputkan
nilai a, b dan c
2.
hitung
D
3.
Jika
D negatif maka imaginer dan akar tidak bisa ditentukan
4.
jika
D positif maka :
akan menghasilkan 2 akar berbeda yaitu
5.
jika
D = 0
6.
selesai
Flowchart
mbak, ini di copas jd ga beratur..
BalasHapusdownload ajaaaa dong mbak,, atau kirim email aku : manyun_pratami@nokiamail.com
makasih..