Persamaan Akar dengan menggunakan Metode Grafik, Rumus ABC, Algoritma dan Flowchart

Metode Numerik

(http://fairuzelsaid.wordpress.com/2010/10/13/metode-numerik-01-pengantar-metode-numerik/)

Created By: Kelompok 2 Mathematic-D Smt. VII

Andi Wahyudi (59451111), Epi Cahyati (59450981), Pipit Puspitasari (59451141), Innayatul Maula (59451124) 

PENGERTIAN METODE NUMERIK

Metode  Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasi kan masalah matematis agar dapat dipecahkan  dengan operasi perhitungan

Metode Numerik

TUJUAN METODE NUMERIK

Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan dengan berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain:

§  Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan.

§  Metode Grafik,  metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu.

§  Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data.

Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pula bawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manual yang membosankan . Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti penekanan pada formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak terjebak dalam rutinitas hitung menghitung

Manfaat   Mempelajari   Metode   Numerik

§  Mampu menangani sistem persamaan  besar, Ketaklinieran dan  geometri  yang  rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan  secara  analitis.

§  Mengetahui  secara  singkat  dan jelas teori matematika  yang   mendasari  paket   program.

§  Mampu merancang program sendiri sesuai  permasalahan  yang  dihadapi  pada  masalah  rekayasa.

§  Metode numerik  cocok untuk  menggambarkan  ketangguhan dan keterbatasan komputer dalam  menangani masalah rekayasa yang tidak dapat  ditangani  secara  analitis.

§  Menangani galat (error) suatu nilai  hampiran (aproksimasi) dari  masalah  rekayasa yang  merupakan  bagian  dari  paket  program  yang  bersekala  besar.

§  Menyediakan  sarana  memperkuat  pengertian  matematika mahasisw. Karena  salah  satu  kegunaannya  adalah  menyederhanakan  matematika  yang lebih  tinggi  menjadi  operasi-operasi  matematika  yang  mendasar

Metode Numerik - Penyelesaian masalah matematis

Dalam menangani masalah rekayasa(masalah riil) perlu melakukan :

§  Membawa  permasalahan  rekayasa  kedalam  teori  matematika (model matematika)

§  Model matematika yang diperoleh diselesaikan  dengan cara matematika yaitu  digunakan komputasi, statistika dan matematika yang  disebut  dengan  alat  pemecah  masalah.

§  Hasil  dari pemecah  masalah  masih  berupa nilai    numeris  atau grafik

§  Hasil numeris yang diperoleh diimplementasikan kembali ke permasalah semula (masalah rekayasa) sehingga  dapat dipublikasikan  sesuai  dengan  permasalahan  yang dimaksud.

Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu:

1.      Pendefinisian masalah (apa yang diketahui dan apa yang diminta).

2.      Pemodelan, Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam  persamaan matematika

3.      Penyederhanaan model, Model matematika yang dihasilkan dari tahap sebelumnya mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan.  Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh.

4.      Formulasi numerik, Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya
adalah memformulasikannya secara numerik

5.      Pemrograman, Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer
dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.

6.      Operasional, Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum   data yang sesungguhnya.

7.      Evaluasi, Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.

Algoritma

http://azwinm.blogspot.com/2010/01/macam-macam-fungsi.html

Algoritma adalah merupakan  sederetan(sequence) langkah logika yang  diperlukan  untuk  melakukan  suatu  tugas  tertentu  seperti  pemecahan  masalah. Algoritma  yang  baik  mempunyai  sejumlah  kriteria   berikut :Setiap  langkah  harus  determinestik.

§  Proses  harus  berakir  setelah   sejumlah  berhingga  langkah.

§  Hasil akhir tidak boleh tergantung kepada siapa yang menjalani algoritma  tersebut.

§  Suatu  algoritma  tidak  boleh  berakhir terbuka.

§  Algoritma  harus  cukup  umum  untuk  menangani  keperluan  apapun.

BAGAN  ALIR ( FLOWCHART)

Bagan alir merupakan  pernyataan  visual atau grafis suatu algoritma. Bagan alir  menggunakan deretan  blok  dan  anak  panah,  yang  masing-masing  menyatakan  operasi  atau langkah tertentu dalam algoritma. Anak panah menyatakan urutan bagaimana   seharusnya operasi  dijalankan.

Manfaat bagan  alir

1.      Dipakai  untuk  menyatakan  dan  mengkomunikasikan  algoritma.

2.      Dapat membantu dalam perencanaan, menyelesaikan keruwetan.

3.      Mengkomunikasikan  logika  program.

4.      Merupakan wahana yang menarik  untuk  memvisualisasikan  beberapa  struktur  yang mendasar  yang  diterapkan  dalam  pemrograman  Komputer.

RUMUS FUNGSI KUADRAT ABC

(http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_kuadrat)

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah   dengan

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x², koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Arti nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

·         a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.

·         b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.

·         c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan cdapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus kuadrat akar rumus abc

y = 0.75 (x + 3.333) (x – 6-000)

Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama ‘rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b danc suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

.

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

dapat dituliskan menjadi

.

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

dan

.

menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

·         Jika dikriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional — sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.

·         Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

·         Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilaitidak negatif.

Flowchart

(http://fairuzelsaid.wordpress.com/2010/01/13/analisis-sistem-informasi-pedoman-membuat-flowchart/)

Pengertian/Definisi Flowchart

Bagan alir  (flowchart) adalah bagan  (chart) yang menunjukkan alir  (flow) di dalam program atau prosedur sistem secara logika. Bagan alir digunakan terutama untuk alat bantu komunikasi dan untuk dokumentasi.

 

Jenis-jenis Flowchart

Ada beberapa jenis flowchart diantaranya:

1.      Bagan alir sistem (systems flowchart).

2.      Bagan alir dokumen (document flowchart).

3.      Bagan alir skematik (schematic flowchart).

4.      Bagan alir program (program flowchart).

5.      Bagan alir proses (process flowchart).

SYSTEM FLOWCHART

System flowchart dapat didefinisikan sebagai bagan yang menunjukkan arus pekerjaan secara keseluruhan dari sistem. Bagan ini menjelaskan urut-urutan dari prosedur-prosedur yang ada di dalam sistem. Bagan alir sistem menunjukkan apa yang dikerjakan di sistem.

DOCUMENT FLOWCHART

Bagan alir dokumen  (document flowchart)  atau disebut juga bagan alir formulir  (form  flowchart)  atau  paperwork flowchart merupakan bagan alir yang menunjukkan arus dari laporan dan formulir termasuk tembusan-tembusannya.

SCHEMATIC FLOWCHART

Bagan alir skematik (schematic flowchart) merupakan bagan alir yang mirip dengan bagan alir sistem, yaitu untuk menggambarkan prosedur di dalam sistem. Perbedaannya adalah, bagan alir skematik selain menggunakan simbol-simbol bagan alir sistem, juga menggunakan gambar-gambar komputer dan peralatan lainnya yang digunakan. Maksud penggunaan gambar-gambar ini adalah untuk memudahkan komunikasi kepada orang yang kurang paham dengan simbol-simbol bagan alir. Penggunaan gambar-gambar  ini  memudahkan untuk dipahami, tetapi sulit dan lama menggambarnya.

PROGRAM FLOWCHART

Bagan alir program  (program flowchart)  merupakan bagan yang menjelaskan secara rinci langkah-langkah dari proses program. Bagan alir program dibuat dari derivikasi bagan alir sistem.

Bagan alir program dapat terdiri dari dua macam, yaitu bagan alir logika program  (program logic flowchart)  dan bagan alir program komputer terinci  (detailed computer program flowchart).  Bagan alir logika program digunakan untuk menggambarkan tiap-tiap langkah di dalam program komputer secara logika. Bagan alat- logika program ini dipersiapkan oleh analis sistem. Gambar berikut menunjukkan bagan alir logika program. Bagan alir program komputer terinci  (detailed computer program flow-chart) digunakan untuk menggambarkan instruksi-instruksi program komputer secara terinci. Bagan alir ini dipersiapkan oleh pemrogram.

PROCESS FLOWCHART

Bagan alir proses  (process flowchart)  merupakan bagan alir yang banyak digunakan di teknik industri. Bagan alir ini juga berguna bagi analis sistem untuk menggambarkan proses dalam suatu prosedur.

 

Simbol/Notasi Flowchart

Dipakai sebagai alat Bantu menggambarkan proses di dalam program. Dibagi menjadi tiga kelompok :

FLOW DIRECTION SYMBOLS

dipakai untuk menggabungkan antara symbol yang satu   dengan symbol lainnya
Symbol Off-line Connector ( Simbol untuk keluar/masuk prosedure atau proses dalam lembar/halaman yang lain)

Symbol Connector (Simbol untuk keluar/masuk prosedur atau proses dalam   lembar/halaman yang sama). Processing symbols
Menunjukkan jenis operasi pengolahan dalam suatu prosedur

Symbol Process (Simbol yang menunjukkan pengolahan yang dilakukan oleh komputer)

Symbol Manual Operation (Simbol yang menunjukkan pengolahan yang  tidak dilakukanoleh komputer)

Symbol Decision (Simbol untuk kondisi yang akan menghasilkan beberapa   kemungkinan jawaban/aksi)

Symbol Predefined Process (Simbol untuk mempersiapkan penyimpanan yang akan digunakan sebagai tempat pengolahan di dalam storage)

Symbol Terminal (Simbol untuk permulaan atau akhir dari suatu program)

Symbol Off-line Storage (Simbol yang menunjukkan bahwa data di dalam symbol ini akan disimpan)

Symbol Manual Input (Simbol untuk pemasukan data secara manual on-line keyboard)

Symbol Keying Operation (Simbol operasi dengan menggunakan mesin yang mempunyai keyboard)

Input-output symbols

Menyatakan jenis peralatan yang digunakan sebagai media input atau output.

Symbol input-output (Symbol yang menyatakan proses input dan output tanpa tergantung dengan jenis peralatannya)

Symbol magnetic-tape unit (Symbol yang menyatakan input berasal pita magnetic atau output disimpan ke pita magnetic)

-

Symbol punched card (Symbol yang menyatakan input berasal dari kartu atau output ditulis ke kartu)

Symbol disk and on-line storage (Symbol untuk menyatakan input berasal dari disk atau output disimpan ke disk)

Symbol display (Symbol yang menyatakan peralatan output yang digunakan yaitu layar, plotter, printer, dan sebagainya)

Symbol dokumen (symbol yang menyatakan input berasal dari dokumen dalam bentuk kertas atau output dicetak ke kertas)

Pedoman Membuat Flowchart

Bila seorang analis dan programmer akan membuat flowchart, ada beberapa petunjuk yang harus diperhatikan, seperti:

1.      Flowchart digambarkan dari halaman atas ke bawah dan dari kiri kekanan.

2.      Aktivitas yang digambarkan harus didefinisikan secara hati-hati dan definisi ini harus dapat dimengerti oleh pembacanya.

3.      Kapan aktivitas dimulai dan berakhir harus ditentukan secara jelas.

4.      Setiap langkah dari aktivitas harus diuraikan dengan menggunakan deskripsi kata kerja

5.      Setiap langkah dari aktivitas harus berada pada urutan yang benar.

6.      Lingkup dan range dari aktifitas yang sedang digambarkan harusditelusuri dengan hati-hati. Percabangan-percabangan yang memotong aktivitas yang sedang digambarkan tidak perlu digambarkan pada flowchart yang sama. Simbol konektor harus digunakan dan percabangannya diletakan pada halaman yang terpisah atau hilangkan seluruhnya bila percabangannya tidak berkaitan dengan sistem.

7.      Gunakan simbol-simbol flowchart yang standar.

Contoh-contoh Flowchart

CONTOH FLOWCHART PROGRAM

Contoh Flowchart Program - Menentukan Bilangan Ganjil/Genap

Penggunaan predefined processes dapat digunakan untuk menyederhanakan flowchart system yang complex

Contoh Soal

Contoh Soal Metode Grafik

1. Tentukan akar persamaan linear f(x)=2x -  4

Jawab

Y = 2x – 4

Syarat pencarian akar yaitu saat y = 0

Y = 0

X = 2

Sehingga didapatkan akarnya yaitu x = 2

2. Tentukan akar persamaan kuadrat  x² – 3x + 2 = 0

Jawab

Langkah-langkah penggambaran garfiknya :

1.      Mencari titik potong

2.      Gambarkan grafik

3.      Tentukan yang berpotongan dengan sumbu x

Jadi x_{1 =} 1 dan x₂= 2

Cara lain menggunakan rumus ABC :

Rumus  

Dari x² – 3x + 2 = 0 diketahui

.a =1

.b =-3

.c =2

 

X1= (-b + (b*b – 4*a*c)^0.5)/2*a

Teruskan

Jadi x_{1 =} 1 dan x₂= 2

Algoritma Pencarian akar pada fungsi x² – 3x + 2 = 0 dengan rumus ABC

Langkah-langkahnya

1.      Inputkan nilai a, b dan c

2.      hitung D

3.      Jika D negatif maka imaginer dan akar tidak bisa ditentukan

4.      jika D positif maka :

akan menghasilkan 2 akar berbeda yaitu

5.      jika D = 0

6.      selesai

Flowchart